블랙 공식, 화이트 공식은 없나요

20200504 2209 

 

블랙숄즈 공식이 옵션을 시작하면 옵션의 ABC처럼 가장 기본적으로 알아야 하는 공식이지만 블랙숄즈공식이 옵션 가격 공식의 전부는 아니다. 특히 금리옵션 시장에서는 블랙숄즈 공식보다는 블랙공식을 더 많이 사용한다.

 

△ 블랙공식과 블랙숄즈 공식의 관계

 

간단히 말하면 기초자산이 ‘현물’이 아니라 ‘선도’일 때 옵션 가격 공식이 블랙 공식이다. 즉 현물에 대한 옵션공식이 블랙숄즈 공식이라면 선도에 대한 옵션공식이 블랙공식이다.

 

블랙공식의 도출 1

 

현물가격이 S0일 때 선도가격(F)은 다음과 같다.

 

F = S0*exp(r*t)

 

이 값을 블랙숄즈 공식에 대입하면 바로 블랙공식을 얻을 수 있다.

 

블랙공식의 도출 2

 

조금 다르게 접근하면 선도가격이 로그정규분포한다고 가정하고 선도에 대한 옵션의 가격을 도출하면 블랙공식을 도출할 수 있다.

 

(note)다음 조건을 만족할 경우 x는 (표준) 로그정규분포한다:  x=ez  with z~N0,1

 

 

[참고] 스왑션, 캡릿, 플로어릿 가격 공식 as 블랙공식

블랙 공식은 선도스왑금리가 로그정규 분포한다는 가정 아래에서 도출된다.

즉 lnSt,τ~NlnFS0,t,τ-12σ2t,σ2t  

where S(t,τ) =(t)시점에 결정되는 기간(tenor)이 τ 인 스왑금리,

      FS0,t,τ =0시점에 결정된 (t)시점에 시작되는(effective) 선도스왑금리

 

가정: 선도 이자율 F이 로그정규분포한다.

 

 

캡릿가격: c=NA365e-rTFNd1-KN(d2)1+FA365

플로어릿 가격: p=NA365e-rTKN-d2-FN-d11+FA365

  d1=lnFK+σ22TσT  and d2=d1-σT

T=옵션만기

r=옵션만기까지의 할인율

F=선도이자율

σ =변동성