케플러의 제2법칙 증명

20200723 2352

요컨대, 면적 속도 일정의 법칙

00 자료
"죽기 전에 알아야 할 5가지 물리법칙"
파인만의 "물리법칙의 특성"에도 나온다.
이러나저러나 원래 credit은 Newton에게 있다.

01 케플러의 제2법칙
"https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BC%80%ED%94%8C%EB%9F%AC%EC%9D%98_%ED%96%89%EC%84%B1%EC%9A%B4%EB%8F%99%EB%B2%95%EC%B9%99"

02 케플러 법칙의 도출 by 뉴튼
"http://zolaist.org/wiki/index.php/%EC%BC%80%ED%94%8C%EB%9F%AC%EC%9D%98_%EB%B2%95%EC%B9%99"

03 그림으로 먼저 보기

O는 태양이고, B는 t시점의 지구다.
만약 태양이 없었다면 지구는 등속직선 운동을 한다. 따라서 아주 짧은 시간 $\delta t$ 동안 A점에서 B점으로 움직여왔다면 아주 짧은 시간 $\delta t$ 동안 C점으로 이동할 것이다(등속직선운동).
하지만 B점에서 태양이 지구를 당긴다. 따라서 지구의 운동 경로는 직진하려는 방향의 힘과 지구를 당기는 힘, 두 벡터의 합 법칙에 따라 D로 변경 된다.

★ 놀라운 사실: 위 논리는 "달이 지구를 향해 무한히 떨어지고 있다"는 말을 설명하는데도 사용할 수 있다.
- 지구(O)와 달(B)의 거리는 OB이다.
- 만약 지구가 당기지 않는다면 지구와 달의 거리는 OC(>OD, appearantly)일 것이다.
- 하지만 지구가 달을 당겨서(or 달이 지구를 향해 떨어져서) 지구와 달의 거리는 OC가 된다.
- 이때 지구가 달을 당기는 힘은 정확히 OB = OD가 될만큼만 작용한다(달의 궤도가 원이라고 가정하면).
- 이 작업을 매순간 반복하므로 달은 무한히 지구를 향해 떨어지고 있다고 할 수 있다.

04 설명
1/ 선분 AB와 BC는 같다. (가정: 동일한 시간 $\delta t$ 동안 움직인 거리)
2/ $\Delta OAB = \Delta OBC$ (밑변이 같고, 높이가 같다)
- 밑변: AB = BC,
- 높이 OA
3/ $\Delta OBC = \Delta OBD$ (밑변이 같고, 높이가 같다)
- 밑변: OB 공유,
- 높이: OB을 연장한 직선과 DC를 연장한 직선(두 직선은 평행하다)의 거리

따라서  $\Delta OAB =\Delta OBD$
즉, 동일한 시간 동안 움직인 면적은 동일하다.

(놀라운 점) O를 향하는 힘(구심력)만있으면 반드시 성립한다. 구심력의 크기와는 상관없다!!!
- 궤도가 원이든 타원이든 상관없이 성립한다.
- 심지어 궤도가 소용돌이 처럼 빙빙 돌며 태양에 접근하거나 태양에서 벗어나는 경우에도 성립한다.