분산의 절반

20200327 2333 

 

00 분산의 절반 ${1\over 2} \sigma^2$ 이 왜 튀어 나올까? 직관적 의미는 무엇일까?

 

01 정규분포 확률변수의 지수변환시 기대값에 나오는 항

 

$$ z=N(\mu,\sigma^2t) \implies E[e^z]=e^{\mu+1/2 \sigma^2 t} $$

 

02 이토렘마 적용시 (지수변환) 나오는 항

 

$$ {dS \over S}=\mu dt + \sigma dW_t \implies dlnS={1\over S} dS - {1\over 2} {1\over S^2} dS^2 = \mu dt + \sigma dW_t -{1\over 2} \sigma^2 t $$

$$ S_t = S_0 exp(\mu t + \sigma W_t - {1\over 2} \sigma^2 t) \implies E[S_t]=S_0 exp(\mu t) $$

 

우연의 일치일까?
(추정)볼록성조정(covexity adjustment)과 관계있다.

 

03 볼록성 조정

어떤 파생상품 A이 기초자산에 선형으로 손익이 결정된다고 하자. 반면 이를 헤지하기 위한 다른 상품 B은 비선형으로 손익이 결정된다고 하자. A를 헤지하기 위해 B를 사용할 경우, B상품이 비선형적이라는 점을 조정해주어야 한다. 특히 B상품의 손익이 볼록성 Convexity을 가질 경우에 이러한 조정을 볼록성 조정이라고 한다.

 

(예시) CMT를 채권으로 해지하는 경우