몬티홀 문제

20220203 1234

목적
몬티홀 문제를 직관적으로 이해해보자.

REF
[1] "https://www.youtube.com/watch?v=CBBLZjXs-bU"
[2] "https://www.youtube.com/watch?v=BlXSCcpYQZ0" 응용문제
[3] "https://namu.wiki/w/%EB%AA%AC%ED%8B%B0%20%ED%99%80%20%EB%AC%B8%EC%A0%9C" ★
다양한 설명이 가능한데..

[3]에 나오는 몇 가지 설명
1. 몬티 홀 문제는 당신이 닫힌 계에서 정해진 확률에 근거해 문을 선택하는 도중 사회자가 개입함으로 인해 발생하는 확률 변화의 정도를 묻는 퀴즈이다.
2. 이 문제의 트릭은 사회자가 염소 문을 하나 열고 당신이 선택한 문을 바꾸는 행위가 사실은 염소 확률과 자동차 확률을 뒤바꾸는 행위 라는 점 이다.
3. 확률의 조건이 되는 사건 두 개(첫번째 선택과 두 번째 선택)가 얽히느냐, 얽히지 않느냐에 따라 확률이 변동한다.***
*** 두 사건이 종속이냐 독립이냐의 차이...

개요
이성적으로는 이해하나 감정적으로 이해 안되는 문제
시뮬레이션 해보면 현실은 그렇다고 받아들이지만 직관은 이해가 안되는 문제
가장 이해가 안되는 문제

아래는 몬티홀 문제에 대한 다양한 설명들

01 레슬링 선수의 비유 [3].. 그나마 좀 이해되는 듯...
(상황)레슬링 선수 3명이 있고 그 중 실력자가 1명있다. 나는 1명을 선정해 시합에 내보내야 한다. 하지만 3명의 실력은 모른다. 우선 한 명을 선발했는데, 나머지 2명의 실력을 잘 아는 코치가 나머지 2명 중에서 1명을 '추천(또는 엄선)*'한다. 이 경우 코치의 추천을 받아들여야 할까?
* 추천(엄선) : 두 명 중에 실력자가 있으면 실력자를 추천하고 없으면 아무나 추천한다(이게 수용되지 않으면 약자를 배제시켜준다고 생각하자).

(풀이) 선택하지 않은 2명중에 강자가 있을 확률=2/3 → 이 경우 코치는 반드시 강자를 제안한다.
2명중에 강자가 없을 확률=1/3 → 이 경우 코치는 아무나 제안하고, 그 선수는 약자이다.
따라서 코치가 강자를 제안할 확률이 2/3이므로 코치의 제안을 수용하는게 유리.

(몬티홀 문제에 적용) 사회자의 행동을 '추천(또는 엄선)'으로 해석
선택 되지 않은 문 중에서 사회자는 하나의 문을 '엄선'해서 제안해 준다. 즉 꽝인 문을 열어주는 행위가 열리지 않은 하나의 문을 '추천'해주는 행위와 같다. 이 때 사회자는 선의*로 추천한다. 이 경우 사회자의 추천을 받아들여야 할까?
* 두 문 중에 당첨이 있으면 당첨문을 제안하고, 없으면 아무 문이나 제안해 준다.


02 사회자의 질문을 게임의 룰 변경으로 해석할 경우
‼️사회자가 문을 바꾸겠느냐고 묻는 건 기존의 게임룰을 버리고 새로운 게임의 룰을 적용하겠느냐고 물어보는 것이다. 사회자의 질문은 단순히 1번문 2번문 중에 선택하라는 것이 아니다. 게임룰1(당첨을 찾는 게임)과 게임룰2(꽝을 찾는 게임) 중에 선택하라는 것이다. 따라서 게임룰을 바꾸면 확률도 바뀌게 되는 것이다.‼️

03 확률의 이전으로 해석할 경우
1번문을 내가 선택하고, 사회자가 3번문을 열어주었을 때,
자동차가 3번 문에 있을 확률은 1/3에서 0으로 줄어든다.
이 줄어든 확률은 왜 1,2로 나눠 가지 않고 2로 몰빵되나?
(note)사회자가 차가 어딨는지 모른 상태에서 문을 열면 1과 2문으로 확률이 이전되지만 사회자가 알고했기때문에 그렇지 않다...그런데 쉽게 납득되지는 않는다. "3번문에 차가 없다"는 동일한 정보가 공개되었음에 그 문을 연 행위자의 정보상태에 따라 확률전이가 달라진다!!!!!!!!

04 "선택하지 않은 문"의 당첨 확률
선택하지 않은 문에서 자동차가 있을 확률 = 2/3
선택하지 않은 문이 2개 ⟶ 1개로 줄어든다면...

05 문을 10개로 늘려보자
8개를 열어서 보여주고 바꿀래라고 묻는다...
8개의 1/10확률이 남아있는(열려지지 않은) 문으로 이전된다!


06 시뮬레이션 해보기 - 전략1, 2, 3
전략에 따라서 문제/목표가 달라진다.
전략1 = 그대로 있기 ⟶ 첫번째 선택에서 3개의 문 중에서 자동차가 있는 문을 찾는 문제 ; 확률 1/3
전략2 = 무조건 바꾸기 ⟶ 첫번째 선택에서 3개의 문 중에서 자동차가 없는 문을 찾는 문제 ; 확률 2/3
전략3 = 사회자가 문을 열어 준 뒤, 둘 중에 랜덤하게 하나 선택하기 ; 확률 1/2
(전략3은 동전을 던져 전략1 또는 전략2를 정하는 것으로 당첨확률은 1/3*0.5+2/3*0.5=1*0.5=0.5)

전략2와 3을 엑셀로 시뮬레이션 해보자

실습파일 :

montihall_simulation.xlsm

0.04MB

실습에 사용된 VBA 코드(사용자정의함수)

Function zOpendoor(a, b) For c = 1 To 3 If c <> a Then If c <> b Then Exit For End If End If Next c zOpendoor = c End Function Function zStragety2(a, b) For c = 1 To 3 If c <> a Then If c <> b Then Exit For End If End If Next c zStragety1 = c End Function

07 확률사각형으로 따져보기

08 다르게 생각해보기
사회자가 자동차를 숨겨진 문을 모르는 상태에서 나머지 문 중 하나를 열어준다면 결과가 위와 다를까?
이 경우에는 사회자가 자동차문을 열었을 경우 처리를 어떻게 하는지를 먼저 정해야 한다.
1) 꽝 처리하는 경우 -> 당첨확률은 어느 전략이나 1/3이다.
2) 당첨 처리하는 경우 ⟼ 당첨확률은 2/3이다.

시뮬레이션; 사회자도 남은 문 중에 하나의 문을 임의로 열어야 하므로, 우선 난수를 생성하고 생성된 난수에 따라서 남은 문 중에 어느 문을 열것이가를 정해야 한다.
vba code

Function zOpendoor2(a, zrnd) If a = 1 Then b = 2: c = 3 ElseIf a = 2 Then b = 1: c = 3 Else b = 1: c = 2 End If If zrnd < 0.5 Then zOpendoor2 = b Else zOpendoor2 = c End If End Function

09 사형수 문제..응용 [2]
(나의 이해1)A가 질문을 하고, 간수가 알려준 사형이 확정된 죄수가 C일 때..
질문을 한 사형수 A가 살아날 확률이 1/3으로 유지된다면, 나머지 (결과가 알려지지 않은) 사형수 B가 살아날 확률은 그 나머지인 2/3가 되어야 한다.

(질문) 몬티홀 문제처럼 선택을 바꿀 기회가 없어도 몬티홀의 논리가 적용되는가?
(질문) 질문자가 B이면 이번에 B가 살 확률이 1/3, A가 살 확률이 2/3이되는데, 질문자에 따라서 A 또는 B가 살아날 확률이 달라지는게 맞나? 이유는 뭘까?
(질문) 다른 예로..간수가 A와 B를 동시에 데려다 놓고 C가 사형이 확정되었다고 알려주면 A, B 각각이 살 확률은 얼마가 되나?