지니계수

20239617

 

지니 계수(Gini coefficient)

 

정의

i) 소득 순위에 따라 저소득자 부터 고소득자까지 세웠을 때...

ii) '총소득' 대비 '소득 하위 x% 이하인 사람들의 소득' 비율을 그래프로 그렸을 때, 우상향하는 직선과 그 곡선이 이루는 면적(A)을 우상향하는 직선과 x, y축이 만나서 이루는 면적(B)으로 나눈 값

iii) 'x% 인구의 이상적인 소득 배분' 대비 '하위 x% 소득 배분의 차이'를 0<= x% <=100% 구간에 대해 모두 더한 것

iv)이상적 소득배분과 현실적 소득배분의 'gap'

 

(문제1) 지니곡선은 우상향하는 직선 아래에 항상 있음을 보여라.

(note) 위와 같이 수식으로 증명하지 않고 직관적으로 생각해봐도 증명할 수 있다.

아래 '문제2' 증명을 생각해보면, 지니 곡선은 우상향 해야 하고 오른쪽아래로 볼록해야하고, 마지막 점은 (1,1)에서 만나야하므로, 지니곡선은 우상향하는 기울기 1인 직선의 아래에 항상 있어야 한다(단, 최종점에서는 일치).

 

(문제2) 지니곡선은 오른쪽 아래로 볼록함을 보여라.

 

(증명) 정의에 의해 지니곡선은 항상 단조증가해야 한다(= 모든 구성원의 소득은 0보다는 크다).

또한 증분의 크기는 항상 직전 증분의 크기보다 크거나 같아야 하므로(=왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 소득이 많은 사람이 매번 추가되므로), 오른쪽으로 갈 수록 기울기가 커져야 한다. => 오른쪽 아래로 볼록해야 한다.