변동성이란 무엇인가

20200504 2154 
 
REF
[1] https://weneedu.tistory.com/124, 
[2] https://gooopy.tistory.com/119 ; 절대편차, 표준편차
 
<도입>
주식이 오를 건지 내릴 건지 내기를 하는게 아니라, 주식이 (방향에 상관없이) 얼마나 많이 움직일까  내기를 한다면 변동성 내기를 한 것이다. 그런게 어디 있냐고? 그게 옵션이다.[1]
 
<그림설명>
1, 방향성 내기; 주식

 
2, 변동성 내기; 옵션(양매수, straddle)

 <글로 설명>
one shot 거래 vs many shot 거래
(one shot 거래)
위 그림의 가정은 '거래시점과 청산시점 사이에 포지션 조정없이 기다린다'는 것(즉 static position)이다.
=> 이 경우 변동성은 절대편차 또는 표준편차로 나타낼 수 있을 것이다.
(many shot 거래)
그러나 실제로 옵션을 거래한다면 동적헤지 dynamic hedge라는 것을 하게 된다. 거래시점과 청산시점 사이 중간중간에 계속 내 포지션의 델타가 0이 되도록 조정해준다는 뜻이다. 따라서 만약 동적헤지를 매일 1번씩 한다면  변동성은 일일 주가의 변화폭을 평균한 개념이 될 것이다. 
 
이 개념에 맞는 통계적 정의로는 절대편차와 표준편차가 있을 텐데 아마 직관적으로 표준편차보다는 절대편차(변동의 절대값의 평균)가 더 맞을 것 같다. 그러나 대부분 두 값은 유사하고(특수한 경우 두 값은 일치하고), 표준편차가 수학적으로 다루기 쉽기(미분 등) 때문에 표준편차를 쓴다(고 생각하자).
 
요약하면 변동성은 ‘표준편차’이다.
확률변수가 그 중심(=평균)에서 벗어나는 정도가 표준편차인데, 옵션에서 말하는 변동성이 바로 이 표준편차이다. 그런데 그냥 표준편차와 다른 것은 2가지 조작을 한다는 점이다.
 
첫번째 조작은 표준편차 계산대상에 대한 조작이다. 금융에서 확률변수라하면 금융자산 즉 주식이나 채권의 가격일 것이다. 따라서 표준차하면 주식이나 채권 가격의 표준편차로 생각할 수 있는데, 변동성에;서는 가격이 아니라 수익률의 표준편차를 말한다. 수익률은 일종의 표준화라고 할 수있다, A주식은 100만원 수준에서 가격이 움직이고, B주식은 천원 단위에서 가격이 움직인다면 가격 기준 표준편차는 A주식과 B주식의 경우가 완전히 다른 값을 가질 것이다. 어느 쪽이 변동성이 큰지 비교할 수가 없다, 그런데 수익률로 변환시켜서 보면 둘은 비교가능하다. 표준편차가 큰 쪽이 변동성이 큰 자산일 것이다.
 
두번째 조작은 표준편차 계산기간에 대한 조작이다. 표준편차를 계산할 때 일단위로 계산한 것과 월단위 또는 연간 단위로 계산한 표준편차는 완전히 다른 값을 가질 것이다. 이래서는 비교가 어렵다. 그래서 변동성은 연간단위로 환산한 또는 통일한 표준편차를 의미한다. 기간이 표준화되었으므로 두 변동성간의 비교가 의미를 가지게 된다,
 즉, 이자율도 1년을 기준으로 표시하듯이 변동성도 1년을 기준으로 표시한다.

요약하면 변동성은 서로 다른 주식간 표준화(가격이 아니라 수익률로 표준화; 횡단면 cross-section이라고 할 수 있다)하고 서로 다은 시간간에 표준화(시계열 time-series라고 할 수 있다)한 표준편차이다,

  
<숫자예>

날짜	기초자산가격
1/1	100
1/2	105
1/3	101

 
일별 수익률은 다음과 같다.
 
1/1~1/2기간 동안 =(105-100)/100=0.05 또는 5%
1/2~1/3기간 동안 (101-105)/105=-0.0381 또는 -3.81%
 
평균수익률=(5-3.81)/2=0.5952%
분산=((5-0.5952)^2+(-3.81-0.5952)^2)/2=19.40 (%^2)
표준편차=sqrt(19.40)=4.405(%)
4.405%는 일변동성(daily volatility)이다. 이를 연율로 환산하면 다음과 같다.
=4.045*sqrt(252)=69.927%
 
즉 위 숫자예의 변동성은 69.927%이다.
 
(참고) 1년의 영업일(거래일)은 252일이다. 분산은 시간에 비례하는 반면 표준편차는 분산의 제곱근이므로 시간의 제곱근에 비례하기 때문에 일변동성을 연율로 환산할 때 sqrt(252)를 곱해준다.
 
<변동성의 종류>
위 예와 같이 기초자산의 가격 데이터로부터 산출한 변동성을 역사적 변동성(historical volatility)라고 한다.
 
이와 상대되는 개념으로 옵션프리미엄이 주어졌을 때 옵션가격공식(대표적으로 블랙-숄즈 공식)에서 역산한 변동성을 내재변동성(Implied Volatility)라고 한다.
 
 
<연습문제> - 위 설명과 관련없는!
 
(문제1)장외시장의 특징에 해당하지 않는 것은?
(1)OTC 시장이라고도 한다.
(2)거래소(Exchange)가 모든 거래를 중개한다.
(3)일대일 계약형태로 거래가 이루어진다.
(4)자유로운 계약이 특징이다.
 
정답: (2)
풀이: 장외시장은 거래소를 통하지 않는 거래를 말한다.
 
(문제2) 다음 중 옵션 기본용어에 대한 설명이 틀린 것은?
(1)행사가격: 미리 정해진 매입 또는 매도가격
(2)만기: 옵션을 행사할 수 있는 시점
(3)콜옵션: 기초자산을 매입할 수 있는 권리
(4)미국형 옵션: 미국에서 거래되는 옵션
 
정답(4)
풀이: 미국형 옵션은 만기일 이전에 옵션을 행사할 수 있는 옵션을 말한다.
 
(문제3)옵션가치에 영향을 주는 요소에 대한 설명으로 틀린 것은?
(1)기초자산의 가격이 상승하면 콜옵션의 가치도 상승한다.
(2)행사가격이 높아지면 풋옵션의 가치는 하락한다.
(3)변동성이 커지면 모든 옵션의 가치는 상승한다.
(4)이자율이 상승하면 풋옵션의 가치는 하락한다.
 
정답(2)
풀이: 행사가격이 높아지면 풋옵션의 가치는 커진다.
 
(문제4)다음 중 풋콜 패러티(put-call parity)를 가장 잘 보여주는 식은?
(1)콜옵션 매입+풋옵션 매도=기초자산매입+채권매도
(2)콜옵션 매도+풋옵션 매입=선도거래 매입
(3)콜옵션 매도=풋옵션 매입
(4)채권매입=콜옵션매입+풋옵션매입
 
정답(1)
풀이: 동일한 만기와 행사가격을 갖는 콜옵션을 매입하고 풋옵션을 매도하면, 기초자산을 매입하고 채권을 매도한 것과 동일한 결과를 얻을 수 있다.
 
(문제5)다음 중 방향성 전략으로 볼 수 없는 것은?
(1)Bull Spread
(2)Risk Reversal
(3)Straddle
(4)Bear Spread
 
정답: (3)
풀이: Straddle은 변동성 전략 중 하나이다.