풋콜패러티

20200504 2157 

 

다음 식을 생각해보자.

 

X_T=max⁡{S_T-K,0}-max⁡{K-S_T,0}

 

S_T≥K이면, X=S_T-K

S_T<K 이면, X=S_T-K

 

즉 X는 S_T(만기시점 기초자산 가격)에 상관없이 항상 S_T-K를 주는 상품이다. S_T는 주식 1주를 매입했을 때 가치이고, K는 확정된 금액(예금 또는 채권)이다. 따라서 X의 현재가치는 다음과 같다.

 

X_0=S_0-Ke^(-rT)

 

그런데 X_T의 첫 번째 항은 콜옵션 매입의 손익구조이고, 두 번째 항은 풋옵션 매도의 손익구조이다. 따라서 X_T의 현재시점 가치는 콜옵션의 현재가치(c_0)와 풋옵션의 현재가치(p_0)로 표현할 수 있다.

 

X_0=c_0-p_0

 

즉, 다음이 성립한다.

 

c_0-p_0=S_0-Ke^(-rT)

 

위 식은 기초자산 및 채권(또는 예금), 풋옵션, 콜옵션 중 세 개만 있으면 나머지 하나를 복제할 수 있다는 것을 의미한다.

 

위 식을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

등가식의 활용: 차익거래

 

주식가격이 31,000원이고, 옵션의 행사가격이 30,000, 무위험 이자율이 연 10%(연속복리)이며 3개월 만기 유럽형 콜옵션의 가격이 3,000원이고, 동일한 조건의 풋옵션의 가격이 2,250원이라고 하자. 풋콜 패러티를 이용하여 차익거래를 찾아보자.

 

다음 등식에 위 값을 넣어보면,

c_0-p_0=S_0-Ke^(-rT)

 

좌변: 3,000-2,250=750(원)

우변: 31,000-30,000*exp(-0.1*3/12)=1740(원)

 

즉 등식이 성립하지 않는다. 이 경우에는 다음 전략을 사용하면 위험없이 수익을 얻을 수 있다.

 

좌변 매입: 콜옵션 매입 및 풋옵션 매도

우변 매도: 주식 1주 매도 및 만기 상환금이 30,000원인 3개월 만기 정기예금에 가입

 

위 투자의 결과로 거래시점에 좌변에서는 750원의 현금유출이 있는 반면, 우변에서는 1740원의 현금유입이 있고 따라서 990원의 순 현금유입이 있다. 만기시점에는 좌변과 우변이 정확히 일치하므로 추가적인 현금유출입이 없고 따라서 990원의 이익을 위험없이 챙길 수 있다.