옵션 가격 계산 공식

20200504 2159


블랙, 숄즈, 머튼
블랙과 숄즈가 공식을 도출하고 1973년에 Journal of Political Economics에 논문으로 발표했다. 논문 저자에는 포함되어 있지않지만 Merton도 함께 기여하여 이 공식을 Black-Scholes-Merton 공식이라고도 한다^[각주:1]. 보통은 Black-Scholes 공식이라고 한다.

옵션가격 공식의 개념
(주식에 대한) 콜 옵션 가격 공식^[각주:2] 은 조금 복잡하게 생겼는데, 개념적으로는 다음과 같다.

옵션 = 주식*weight1 + 채권*weight2

주식과 채권을 섞어 놓은 것이 옵션이다.

즉 주식을 얼마 정도(weight1) 사(팔)고 채권을 얼마 정도(weight2) 사(팔)면 옵션이 된다. "얼마 정도"를 사(팔아)야 하는지를 알아내는 것이 옵션 가격계산의 핵심

(note) option pricing formula, 정확한 공식
C = S N(d1) - K exp(-r•t) N(d2)
콜옵션=주식×옵션행사확률1^[각주:3] +행사가격×할인율×옵션행사확률2^[각주:4]

(참고) 물리학의 원소 개념을 적용해보면, 채권과 주식이라는 원소로 구성된 합성물질이 옵션이다. 실제로 채권과 주식은 금융시장에서 원소와 같은 역할을 한다. 예를 들어 배당우선주는 정해진 배당을 받는 점에서는 채권이고 배당을 못 받으면 의결권이 생겨 주식이된다.


블랙과 숄즈가 이 옵션 공식을 도출한 과정
기초자산의 가격의 수익률(정확히는 로그 수익률 – 연속복리수익률)은 확정적으로 움직이는 부분(deterministic part)과 확률적으로 움직이는 부분(stochastic part)으로 구성되었다고 가정한다.

주식가격(의 움직임) = 확정적 부분 + 확률적 부분

확정적 부분은 시간에 따라 주가가 상승하는 부분을 묘사한다.

확정적 부분 = (경과한) 시간 × 성장률*
*시간이 연단위(year)이면 성장률도 연간 성장률이어야 한다.

확률적인 부분은 정규분포를 따른다고 가정한다. 이 정규분포는 만기가 길어질수록 분산(또는 표준편차)이 커진다.

확률적 부분 = (경과한) 시간×표준정규분포

이 경우 이러한 기초자산에 대한 옵션의 가격이 어떻게 움직이는가를 알 수 있는데, 결론적으로 말하면 주식가격의 함수이다. 즉 주식가격과 일정한 관계를 유지하며 움직인다.

옵션의 가격 = f(주식의 가격)

이 관계를 이용해서 주식과 옵션을 적당히 섞으면 우리가 예측할 수 없는 부분(stochastic part)을 제거*할 수 있다. 확률적 부분이 제거되었으므로 이 포트폴리오는 확정적 부분만 남고, 이럴 경우 이 포트폴리오는 채권과 같은 상품으로 볼 수 있다^[각주:5] . 이를 이용하면 이 포트폴리오의 가격이 따라야 하는 관계(방정식)**를 얻을 수 있다.

* 예측 불가능한 부분이 제거되므로 남아있는 부분은 예측가능하고 따라서 위험이 없다.
** 이 방정식을 블랙-숄즈 편미분 방정식(PDE, Partial Differential Equation)이라고 한다.

이 방정식을 풀어서 옵션의 가격을 구한다. 방정식은 2차 방정식 풀듯이 간단하지는 않고 복잡한데, 그 풀이 방법*은 이미 물리학이나 공학쪽에서 나와있었기** 때문에 풀이 자체는 새로운 것은 아니다. 블랙-숄즈의 기여는 옵션과 주식으로 무위험 포트폴리오를 구성하고 재무이론의 무차익 거래 조건(no arbitrage condition)을 부여하여 블랙-숄즈 편미분 방정식을 도출한 점에 있다.

* 최근에는 편미분 방정식을 풀지 않고 마팅게일 측도(measure)를 이용해서 기대값(expectation)을 직접 계산하는 방법을 사용한다.
** 블랙-숄즈 편미분 방정식은 열역학에서 나오는 열전도 방정식의 변형된 형태였고, 열전도 방정식에 대한 풀이법은 이미 개발되어 있었다. 특히 블랙은 물리학 박사이기때문에 풀이 방법은 익숙했을 것이다.

옵션가격은 기초자산의 가격, 행사가격, 무위험 이자율, 옵션의 만기, 변동성의 함수이다. 즉 이 5가지 변수에 의해 가격이 결정된다. 배당이 있는 경우라면 배당(률)도 가격에 영향을 주게된다.

풋옵션의 가격은 어떻게 구할까?
블랙-숄즈가 콜옵션 가격 구할 때 한 것처럼 (1)풋옵션 가격의 움직임을 도출하고, (2)무위험 포트폴리오를 구성하고, (3)무차익거래 조건을 부여해서 편미분 방정식을 도출한다음에 (4)열전도 방정식의 풀이법을 적용해서 가격을 구할 수도 있다. 이게 정공법이라면, 보다 쉬운 측공법이 있는데 풋-콜 패러티라는 관계를 이용하는 방법이다.

풋-콜 패러티
다음 관계식을 풋콜 패러티라고 한다.

콜 옵션 매입 + 풋 옵션 매도 = 선도계약

콜 옵션의 가격은 블랙숄즈 공식을 통해 이미 알고 있고, 선도계약 공식도 간단히 도출된다. 따라서 위 등식(parity)에서 모르는 값은 풋옵션의 가격이고 이는 방정식을 풀면 바로 알 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

풋옵션 가격=콜옵션가격+선도계약 가격

옵션가격의 개념에 대해 더 알고 싶다면
① "weneedu.tistory.com/208" 옵션가격 생각해보기 ⇒ 옵션의 가격은 기초자산의 가격이 어떻게 되리라는 "기대"와는 무관하다.
② "weneedu.tistory.com/130" 옵션가격 공식의 직관적 이해 ⇒ 옵션은 채권과 주식의 짬뽕이다. 따라서 가격도 채권 가격과 주식 가격의 짬뽕이다.
3️⃣"https://weneedu.tistory.com/m/634" 간단히 손으로 옵션가격 구해보기, 가장 간단한 이항모형

1. 내가 그렇게 주장하는 것이 아니라 사실이 그러하다. 숄즈와 머튼은 옵션가격공식 도출 공로로 노벨(경제학)상을 받았다. 블랙은 그 이전에 죽어 상을 받을 수 가 없었다. [본문으로]
2. 정확히는 주식에 대한 옵션 즉 주식이 기초자산인 옵션 [본문으로]
3. 실제확률이 아니라 위험중립세계에서의 확률 [본문으로]
4. 실제확률이 아니라 주식이 numerair asset인 세계에서의 확률 [본문으로]
5. 미래에 얼마를 받을지 현금흐름이 확정된 것과 같고 미래현금흐름이 정해진 상품은 채권이다. [본문으로]