옵션가격 공식의 직관적 이해

20200504 2200 

 

Intro

1년 뒤 어떤 회사의 주식(A) 1주를 1,000원에 살 수 있는 권리(=콜 옵션)를 갑에게 준다고 하자. 나는 갑에게 얼마를 받아야 할까? 이를 결정하기 위해서는 좀 더 많은 정보가 필요하다. 다음을 추가적 생각해보자.

 

만약 A의 가격이 현재 1,000,000원이라면?

만약 A의 가격이 현재 1원이라면?

 

만약 현재 1년 만기 금리^[각주:1]가 50%라면?

만약 현재 1년 만기 금리가 0%라면?

 

결론적으로 콜 옵션의 가격은 위 극단 가격의 어느 중간쯤에 위치할 것이다.

중간 어디쯤인지를 찾아내는 것이 핵심!

 

옵션은 주식과 채권의 합성물

기초자산이 주식인 경우, 옵션가격 공식은 다음과 같이 이해할 수 있다.

 

주식옵션의 가격 = 주식 * A + 채권 * B

 

주식을 일정량 섞고 채권을 일정량 섞으면 옵션이 된다는 것이 옵션가격공식이 말해주는 것이다. 물리학으로 생각해보면 수소와 산소를 섞으면 물이 된다는 것과 동일하다. 차이가 있다면 물은 수소와 산소가 섞이는 비율이 항상 일정하지만 옵션은 그 비율이 변한다는 점이다. 그래서 옵션이 어려워지는 것이다.

 

Rule of Thumb  대략적인 비율은 이러하다.

현재 주식의 가격이 높아 옵션이 행사될 가능성이 높다면^[각주:2] 주식의 비중이 높아질 것이다^[각주:3]. 반대의 경우^[각주:4]라면 주식의 비중이 낮아질 것이다. 행사될지 아닐지 애매한 상황이라면 주식 반, 채권 반 상태가 될 것이다^[각주:5]

 

자산가격의 일반공식으로서 옵션

재무이론에 따르면 금융자산의 가치는 미래의 현금흐름과 할인율만 알면 알 수 있다. 즉 다음과 같은 식이 성립한다.

 

자산의 가치 = 현금흐름 / (1+할인율)

 

미래 현금흐름이 확정되어 있지 않다면 즉 변한다면 그 현금흐름은 확정된 숫자가 아니라 확률변수이므로 위 공식에서 현금흐름은 기대값(=평균)으로 대체된다. 이때 할인율을 무엇을 써야하는가가 이슈가 될 수 있는데, 무위험할인율을 써야하는지 위험조정 할인율을 써야 하는지가 문제가 된다. 결론은 기대값을 산출할 때 사용하는 확률(=가중치)이 현실세계의 확률이면 위험조정할인율을, 위험중립세계*의 확률이면 무위험할인율을 써야한다.

 

* 위험중립세계란 모든 투자자들이 위험에 대해 무시하는 세상이다. 일반적인 세상이라면 위험이 있는 상품은 투자를 하지 않으려고 하지만 이 세상에서는 위험이 있는 상품이나 없는 상품이나 차이가 없다. 중요한 것은 기대 수익률이다. 위험에 상관없이 기대수익률이 높은 상품이 선호된다.

 

옵션의 가격도 위 틀에서 벗어나지 않는다. 콜옵션을 생각해보면 만기 시점에 콜옵션 매입자가 얻게되는 현금흐름은 다음과 같다.

 

Max(S_T – K, 0), where S_T = 만기시점의 기초자산 가격

 

이 현금흐름은 만기시점의 주가에 따라 달라지므로 확률변수이고, 따라서 기대값을 취해서 할인하면 옵션의 가격을 얻을 수 있다.

 

콜 옵션의 가치 = E[ Max(S_T – K,0)]/(1+r)

 

할인율로 무위험 이자율을 쓰기위해서는 기대값을 위험중립 기대수익률을 사용하면된다.

 

기대값을 계산하면 다음을 얻을 수 있다.

 

F*N(d1) – K*N(d2)

 

이것을 연속복리 수익률로 할인한 것이 블랙-숄즈 공식이다.

1. 당신이 예금을 하든 대출을 하든 모두 이 금리를 적용 받는다 [본문으로]
2. deep in the money라고 한다. [본문으로]
3. 옵션이 행사될 것이 거의 확실하다면 옵션 행사에 대비해서 주식을 미리 사두어야 할 것이다! [본문으로]
4. Out-of-the-money [본문으로]
5. At-the-money [본문으로]