블랙공식의 모순성, 비일관성

20200509 2321 

 

캡플로어와 스왑션은 모두 블랙 공식을 사용해서 옵션가격을 계산하는데 이 경우 두 모형은 모순이된다. 즉 하나가 맞으면 상대방이 맞지않는 상황이 생기게된다. 블랙 공식은 기초자산의 가격이 로그 정규분포한다는 가정에 따라 산출된 것인데, 캡플로어의 기초자산은 선도금리이고, 스왑션의 기초자산은 이자율스왑 금리이다. 그런데 선도금리의 선형결합이 이자율 스왑금리이기 때문에 로정규분포하는 확률변수를 선형결합하면 그 자신도 로그정규분포하지 않는다. 직관적으로 정규분포하는 확률변수를 더하면 그 값은 정규분포하지만, 정규분포하는 확률변수에 로그를 취한 것에 대해서는 그 관계가 성립하지 않을 것이다. 로그함수는 비선형 함수이므로 선형성질이 없어지기 때문이다. 즉 다음 관계가 성립한다.

z1+z2~N  

lnz1+lnz2≠LN  or z1×z2≠N

 

이러한 이론적 모순성에도 불구하고, 실무적으로는 두 상품의 계산에 모두 블랙 공식을 사용하는데 그 이유는 이론적으로 모순이 없는 대안을 구하기 쉽지 않고, 모순이 없는 모형을 사용해서 두 상품의 가격을 구해도 크게 값이 다르지 않을 것이라는 생각때문이다.