열전도 방정식

20210624

 

REF

[1] "https://www.youtube.com/watch?v=ly4S0oi3Yz8&t=725s"

 

동기

옵션가격도출에 나오는 블랙숄즈 PDE가 열전도 방정식이다.

 

개요
'어떤 지점의 시간에 따른 온도 변화'(A)는 주변 지점과 그 지점의 온도차이에 의해서 결정될 것이다.

 

구체적으로

- 주변 지점의 온도가 높으면 올라갈 것이고, 낮으면 내려 갈 것이다.
- 주변 지점의 온도가 혼재되면(예를 들어 오른쪽은 높고 왼쪽은 낮으면), 주변 지점의 중간온도로 수렴할 것이다.
** 중간온도와의 차이 = 오른쪽 차이 - 왼쪽 차이 => 즉 차이의 차이 = 2차 미분
*** 왼쪽 차이의 절반 만큼 온도가 변하고, 오른쪽 차이의 절반만큼 온도가 변한다.

단, 변화의 방향(부호)는 현재 지점과 주변지점의 온도차이가 + 인지 - 인지에 따라 달라진다.
** 따라서 A = k*2차미분.....A는 2차미분에 비례한다.
** 어느 정도 비례하는 지는 열전도율에 따라 다르다. 예를 들어 나무는 k=0이고, 구리는 k값이 클 것이다.

(note) 미분방정식의 수치적 풀이 중, 유한차분법  - Explicit method의 아이디어와 동일