이자율의 비교 - 동일한 이자율

20200329 2244

 

신용위험은 존재하지 않는다고 가정하자. 즉 신용위험이 없는 상대방, 예를 들어 국가가 발행하는 채권을 사는 경우를 생각하자. 신용위험이 없으므로, 다른 조건이 동일하다면 이자율이 달라질 수 있는 조건은 만기와 지급주기 두 가지 조건뿐이다.

 

(문제) 신용위험이 없고, 만기와 지급주기가 동일한 두 채권의 이자율(수익률)이 다를 수 없음을 증명해보자.

(힌트) 귀류법 proof by contradiction

 

역으로 생각하면, 이자율은 만기와 지급주기에 따라 다양하게 존재한다. 만기에 따라 이자가 달라지는 이유는 “이자율의 기간구조”라는 이론에서 설명한다. 말 그대로 채권의 만기(기간)에 따라 이자율 모양새(구조)가 어떻게 결정되는지 설명하는 이론이다.

 

이제 “두 이자율이 같다”는 말을 생각해보자.

(1) 만약 만기와 이자지급 주기가 같다면 두 이자율(숫자)은 동일해야 할 것이다. 즉 두 이자율 숫자가 같으면 당연히 두 이자율은 같다.

(2) 그런데 만기는 같고 이자지급주기가 다르다면 두 이자율(숫자)은 달라도 “같을 수 있다”. 어떤 의미에서 같을까? 만기에 투자자가 받는 돈이 같으면 같다고 할 수 있을 것이다. 즉 두 이자율로 투자할 경우 만기 시점에 받는 돈이 같다면 두 이자율이 같다고 할 수 있다.

(요약) "두 이자율이 같다"는 말은 다음 표현을 줄여서 나타낸 것이다. ⇒ "두 이자율 숫자는 다르지만 같은 원금을 투자했을 때 만기에 받게되는 돈이 같다"

 

(2)를 이용하면 지급주기가 다른 이자율간의 전환이 가능하다. 다음 질문을 생각해보자.

 

1년에 n번 지급하는 이자율이 $r_n$이고, 1년에 m번 지급하는 이자율이 $r_m$일 때 두 이자율이 같아지기 위한 조건은 무엇일까?

 

이 질문에 답하기 위해서는 이자가 중간에 발생하기 때문에, 중간에 발생하는 이자를 재투자해서 벌 수 있는 돈(재투자 수익률)이 얼마인지를 알아야 한다.

 

1년에 원금 1(원)에 대해 단리 이자 $r_1$%를 주는 경우를 기준으로 삼자.

이제 1년에 n번 이자를 주는 “동일한” 이자 $r_n$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

단, 재투자 수익률이 $r_n$이라고 가정해야 한다.

 

$$(1+r_1 )=(1+{r_n\over n})^n$$

 

그럼 이제는 1년에 n번 이자를 주는 것과 “동일하게” 1년에 m번 이자를 주는 이자율 $r_m$을 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$(1+{r_n\over n})^n = (1+{r_m\over m})^m$$

 

(참고) 보통 현재시점은 t=0으로 표시한다.