듀레이션

20200402 2152

 

듀레이션의 사전적 의미는 기간을 의미한다. 기간이라는 뜻으로 일반적으로 많이 사용되지는 않지만 체공시간(duration of flight) 등과 같이 특수한 분야에서 사용된다. 비슷하게 내구재(durable goods)도 기간의 개념으로 듀레이션이 사용된 예이다.

 

△ 맥컬리 듀레이션

 

채권에서의 듀레이션(정확히는 맥컬리 듀레이션)은 현재가치를 가중치로 사용하는 현금흐름의 평균만기이다. 말을 하나씩 분석해보자.

 

① 현재가치를 가중치로 한다.

② 현금흐름의 평균 만기이다.

 

채권의 현금흐름은 여러 번 발생하는 것이 보통이다(할인채권의 경우는 예외적으로 한번만 발생하기도 한다). 각 현금흐름이 발생하는 시점을 만기라고 하자. 만기가 여러 개 있으므로 하나의 숫자로 나타내기 위해서는 ‘평균’이라는 개념을 도입한다.

 

구체적으로 매년 10%씩 이자를 주는 3년 만기 채권을 생각해보자. 이 채권의 현금흐름은 총 3번 발생하고 그 시점은 1, 2, 3(년)이다. 여기서 단위는 1년이 기본단위이다. 이 경우 채권의 평균만기는 언제일까? 단순평균하면 (1+2+3)/3=2(년)이다. 그런데 불공정해 보인다. 3년차에 대부분의 현금흐름이 발생하는데 1, 2년차와 동일하게 중요성(가중치)을 부여했기 때문이다. 이 문제를 보완하기 위해 각 시점의 현금흐름을 가중치로 사용할 수 있다. 그러면 조정된 평균 만기는 다음과 같다(원금을 100이라고 가정하자).

 

10/130*1+10/130*2+110/130*3 = 2.76923076923077

 

현금흐름의 양에 대한 정보도 반영했기 때문에 많이 개선되었다. 하지만 각 현금흐름의 발생시점이 다른 점을 반영하지 못했기 때문에 아직까지 불완전하다. 이를 반영하기 위해서는 현금흐름을 같은 시점에 놓고 비교해야 할 것이다. 즉 현금흐름의 현재가치를 가중치로 사용하는 것이 더 적절할 것이다. 미래에 발생하는 현금흐름을 현재시점으로 당기기 위해서는 할인계수가 필요하다. 추가적인 정보가 필요한데, 채권의 경우 수익률이 그 정보이다. 수익률을 알면 미래 시점의 현금을 현재시점으로 할인하는데 필요한 정보(할인계수)를 구할 수 있다.

 

t시점의 할인계수 = 1/(1+수익률)^t, t(기간)는 연간단위

 

(note) 여기에서는 현금흐름이 연 1회 발생하므로 연간복리 수익률을 사용하였고, 할인계수 공식도 그에 맞춰 정의되었다. 만약 현금흐름이 연1회 이상 발생하면 그에 맞는 복리수익률과 할인계수 공식을 사용하여야 한다.

 

이 정보를 이용해서 채권의 다시 조정된 만기를 이용하면 다음과 같다.

 

W1*1+w2*2+w3*3

W1=10*df1/p, w2=10*df2/p, w3=110*df3/p

P=10*df1+10*df2+110*df3, 즉 채권의 가격(현재가치)

df1=1/(1+10%), df2=1/(1+10%)^2, df3=1/(1+10%)^3

 

그러면 이렇게 계산된 일종의 “평균” 만기는 어디에 쓸까?